УДК 001.891.573

Моисеева М.И.

Эмпирический подход в математическом моделировании физических явлений

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики

В данном докладе рассматривается моделирование физических явлений на основе апостериорных данных, полученных экспериментально. Предлагается выделение в структуре модели отдельных компонент и их композиция в зависимости от преследуемых моделированием целей.

Ключевые слова: математическое моделирование; экспериментальные данные.

This report examines the modeling of the physical phenomena on a basis of a posteriori experimental data. Setting of a model structure as a composition of few separate components  depending on modeling purposes is proposed. 

Key words: mathematical modeling; experimental data.

Изучение многих физических явлений проводится с использованием их математических и компьютерных моделей. Моделирование широко используется при решении задач прогнозирования поведения физических объектов и для реализации эффективного управления.

Выбор алгоритмов построения математическим моделей зависит, прежде всего, от целей, преследуемых в исследовании. Кроме того, на выбор средств моделирования оказывают влияние наличие или отсутствие каких-либо априорных сведений об изучаемом явлении и характеристики имеющихся апостериорных данных, а также наличие или отсутствие возможности проведения новых экспериментов.

Таким образом, с точки зрения исходных предпосылок можно выделить два базовых подхода к построению моделей – теоретический и эмпирический. Теоретический подход опирается на априорные, то есть уже известные ранее сведения о законах, описывающих рассматриваемое явление. Эмпирический подход актуален в условиях отсутствия или недостаточного объема априорных знаний о законах функционирования исследуемых объектов. При данном подходе модель явления строится лишь на основе экспериментальных данных.

Поскольку не представляется возможным вывести универсальный алгоритм моделирования для любого физического объекта, выделим и рассмотрим два класса физических явлений в зависимости от преследуемых в их исследовании целей.

В задачах первого класса целью моделирования является получение лаконичной формы записи информации о некотором явлении. Примером такой задачи является проблема представления экспериментальных данных о коэффициенте пропускания атмосферы аналитической зависимостью.

Для второго класса задач цель моделирования заключается в оценке экстремальных значений и прогнозировании критичных ситуаций и состояний рассматриваемого объекта или явления. Подобные задачи часто возникают в системах геофизического и экологического мониторинга. «Принятие решений по данным мониторинга может быть достаточно простым,  если априорно известны пороговые значения измеряемых величин, такие, что при  их  превышении  или  уменьшении  относительно  порогов можно говорить об аномальном состоянии исследуемого объекта и утверждать, что он требует повышенного внимания» [1]. То есть для таких задач актуально построение модели для выявления диапазонов параметров, при которых поведение объекта или характеристики явления выходят за допустимые рамки.

В общем случае математическая модель физического явления может быть представлена в виде композиции  нескольких компонент, характеризующих влияние на нее различных факторов: внутренних или внешних, управляемых или неконтролируемых.

Выделение отдельных компонент модели широко используется при обработке временных рядов, где принято выделять систематическую компоненту, или тренд, и различные дополнительные компоненты – как периодические, так и случайные.

Систематической составляющей, или трендом, является «общее изменение значений переменной во времени» [2]. Для выявления в экспериментальных данных тренда могут быть использованы метод экспоненциального сглаживания, метод регрессии и другие. Периодическая компонента описывает колебания исходных данных,  повторяющиеся на протяжении некоторого отрезка времени. Случайная составляющая характеризует влияние каких-то не выявленных факторов или каких-то стохастических событий.

В зависимости от класса исходных экспериментальных данных, от наличия специфической цели моделирования может быть увеличена или уменьшена роль отдельных компонент в структуре модели.

При построении модели с целью обобщения и получения компактной формы записи данных основную роль играет систематическая составляющая. А при оценке состояния явления и выявлении критических ситуаций необходима более точная модель, то есть композиция системной и случайной компонент и, возможно, ещё каких-то дополнительных составляющих. При этом композиция может быть как аддитивной, так и мультипликативной, так и какой-то более сложной функцией.

Следует отметить, что при эмпирическом подходе к моделированию физического явления имеет место принцип множественности моделей. На основе одних лишь апостериорных данных невозможно однозначно определить, какая из моделей является верной с точки зрения законов физики, если эти законы априорно неизвестны.

Литература:

1. Любушин А.А. Анализ данных систем геофизического и экологического мониторинга. – М.: Наука. 2007, - 228 с.

2. Стэнсфилд Р., Эддоус М.  Методы принятия решений/ Пер. с англ. под ред. член-корр. РАН И.И. Елисеевой. — М.: Аудит, ЮНИТИ. 1997, - 590 с.